Triângulos - classificação, propriedades e desigualdade triangular

Um triângulo é um polígono com três lados e três ângulos internos. Quando os três lados e os três ângulos são iguais, dizemos que o triângulo é regular, sendo chamado de equilátero.

No triângulo [ABC] temos:

- os lados [AB], [BC] e [CA]

- três ângulos internos - ângulos ABC, BCA e CAB

- três ângulos externos, sendo que cada ângulo externo é suplementar ao ângulo interno adjacente (ou seja, a sua soma é 180º)

- a cada lado opõe-se um ângulo (exemplo: ao lado [AB] opõe-se o ângulo BCA)

Classificação de triângulos

Mediante as amplitudes dos seus ângulos internos ou o comprimento dos seus lados podemos classificar um triângulo de duas formas:

• classificação de triângulos quando à amplitude dos seus ângulos

• classificação de triângulos quando ao comprimento dos seus lados

exemplo:

Este triângulo é retângulo e escaleno.

Propriedades dos triângulos

• Propriedade 1 - a lados iguais opõem-se lados iguais, e a ângulos iguais opõem-se lados iguais.

• Propriedade 2 - Ao maior lado opõe-se o maior ângulo e vice-versa. E ao menor lado opõe-se o menor ângulo e vice-versa.

• Propriedade 3 - A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a um ângulo raso (180º). Para verificares esta propriedade podes fazer a seguinte tarefa em casa, experimentando com vários triângulos diferentes.

exemplo: calcula a amplitude do ângulo f.

• Propriedade 4 - Num triângulo acutângulo todos os ângulos são agudos. Nos triângulos obtusângulo ou retângulo, dois dos ângulos internos são agudos.

• Propriedade 5 - Um ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos não adjacentes.

exemplo: 

â = 90 + 60 = 150º 

• Propriedade 6 - A soma dos ângulos externos de um triângulo é igual a um ângulo giro (360º).

exemplo:

Desigualdade triangular

A desigualdade triangular diz que para se poder construir um triângulo, a medida de cada lado tem de ser sempre menor que a soma dos outros dois.

Se as três afirmações são verdadeiras, então é possível construir-se o triângulo com as medidas dadas. Caso uma das afirmações fosse falsa, ou seja, a medida de um dos lados fosse maior que a soma dos outros dois, então esse triângulo não poderia ser construído.

Relação de Euler

A Relação de Euler é uma correspondência entre faces, arestas e vértices de um poliedro, descoberta pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707 a 1783). Este matemático descobriu que os elementos de um qualquer poliedro convexo tinham uma relação entre si. Aqui podes aprender o que é a Relação de Euler e conhecer alguns exemplos práticos para perceberes mais facilmente.

Relação de Euler - definição e exemplos práticos

Como referimos em cima, a Relação de Euler é uma relação entre os três elementos de um poliedro convexo (arestas, faces e vértices). Mas antes de chegarmos à fórmula, deves relembrar alguns conceitos essenciais:

- poliedro: sólido formado apenas por faces planas.

- poliedro convexo: sólido formado por faces planas e que não formam nenhuma concavidade.

- aresta: reta formada pelo encontro de duas faces do poliedro.

- face: a face é uma das superfícies do poliedro, delimitado por arestas.

- vértice: ponto formado pelo cruzamento de duas arestas.

Por exemplo, o cubo é um poliedro convexo, com 12 arestas, 8 vértices e 6 faces.

Agora, para perceber a relação que existe entre os vários elementos de um poliedro convexo, vamos usar os exemplos da pirâmide triangular regular, o tetraedro, e do cubo.

O tetraedro tem 6 arestas, 4 vértices e 4 faces.

Já o cubo tem 12 arestas, 8 vértices e 6 faces.

Se procurasses com atenção, verias que existe uma relação entre o número de vértices e de faces, e o número de arestas. Ora vê:

Tetraedro => 4 V e 4 F <= => 8 A

Cubo => 8 V e 6 F <= => 12 A 

Se somarmos em ambos os casos o número de vértices e o número de faces verás que em ambos os casos a soma é igual ao número de arestas mais dois.

Tetraedro => 4 V + 4 F = 8 A + 2

Cubo => 8 V + 6 F = 12 A + 2

Se experimentares esta relação em outros poliedros convexos verás que ela irá manter-se sempre. Assim, podemos chegar a uma fórmula geral:

V + F = A + 2

Esta é a fórmula que representa a Relação de Euler.

A fórmula matemática para a árvore de Natal perfeita

A decoração da árvore de Natal é uma das atividades mais aguardadas na época das festas. Juntar os pais e filhos a decorar a árvore é algo que todos gostam. No entanto, com tantos enfeites, por vezes a decoração final não fica tão perfeita quanto o desejado. Para resolver esse problema, dois estudantes ingleses criaram uma fórmula para saber exatamente quantos enfeites a árvore deve levar para ficar perfeita. Sabe mais sobre a fórmula matemática para a árvore de Natal perfeita.

Fórmula matemática para criar a decoração perfeita na árvore de Natal

Nicole Wrightham e Alex Craig, estudantes de Matemática na Universidade de Sheffield, são os criadores da fórmula. Esta surgiu no seguimento de um pedido de uma loja de enfeites natalícios para criarem algo que ajudasse os seus clientes na hora de fazer as suas compras.

Usando conceitos como o teorema de Pitágoras, rapidamente estes dois estudantes chegaram à fórmula final. Ela está disponível através de uma calculadora online, onde através da altura da árvore, saberá o número de enfeites ideal para que a decoração fique perfeita. Podes aceder a esta calculadora AQUI. A página está em inglês, mas é fácil de perceber. Quando acederes, anda para baixo até encontrares a calculadora.

Experimenta, e se ainda não tiveres decorado a tua árvore, utiliza esta fórmula.

Ficha de trabalho - Simetria axial

Para que possas estudar matemática, nada como teres exercícios e fichas de trabalho para praticares os teus conhecimentos. De seguida deixamos aqui alguns links importantes para estudares os conceitos de simetria axial, e ainda, uma ficha de trabalho sobre o tema. 

[Ao clicares no link para acederes à ficha, não é necessário registo no dropbox, bastando clicar na cruz da janela de registo, caso ela apareça.]

• Links importantes para estudares a simetria axial:

Simetria axial

Isometrias - o que é uma reflexão

Como fazer retas perpendiculares

• Ficha de trabalho - simetria axial 

Clicar AQUI.

Podes ainda praticar os teus conhecimentos gerais sobre simetrias e isometrias na nossa ficha de avaliação:

- Ficha de Avaliação de Matemática 6o ano - Isometrias (com correção)

Simetria axial

Diz-se que uma figura tem simetria axial quando existe uma reta (eixo de simetria) que divide essa mesma figura em duas partes iguais, que se sobrepõem se for feita uma reflexão em relação a essa reta. De seguida podes verificar alguns exemplos de figuras com simetria axial.

Simetria axial de quadriláteros

Simetria axial de triângulos

Simetria axial de polígonos regulares

Os polígonos regulares têm um número de eixos de simetria igual ao número de lados. Assim, o triângulo equilátero tem 3 eixos de simetria, o quadrado tem 4, o pentágono regular tem 5, o hexágono regular tem 6, o heptágono regular tem 7, etc.

Simetria axial de um círculo

Bissetriz de um ângulo

Qualquer ângulo pode ser dividido em duas partes iguais, através da sua bissetriz. A bissetriz é assim o eixo de simetria de um ângulo, que desta forma tem também simetria axial.

Há ainda outro tipo de simetria, a denominada simetria rotacional ou de rotação. Para saberes mais sobre esta simetria, clica AQUI.

Os quadrados são retângulos?

Os quadrados são todos retângulos?

A resposta é sim.

Na realidade, todos os quadriláteros que possuam os 4 ângulos internos retos, os lados opostos iguais e paralelos entre si, e as suas diagonais congruentes (iguais entre si) designam-se retângulos. Como tal, o quadrado integra-se nesta definição, por isso sim, todos os quadrados são retângulos. 

Mas será que o inverso também é verdade? Será que todos os retângulos são quadrados?

Neste caso a resposta é não. Um quadrado é um retângulo especial, pois é um polígono regular, isto é, além dos ângulos internos todos iguais (tal como qualquer retângulo), tem ainda de ter os lados todos iguais e as suas diagonais congruentes e perpendiculares. Como existem retângulos que não cumprem estes requisitos, logo nem todos os retângulos são quadrados.

Sólidos platónicos

Os sólidos platónicos são poliedros formados por polígonos geometricamente iguais, e onde em cada vértice se encontrem sempre o mesmo número de faces. O sólido platónico mais conhecido é o cubo. Este é um prisma com as suas faces todas geometricamente iguais, e onde em cada vértice se encontram sempre 3 faces.

Existem 5 sólidos platónicos: o tetraedro, o cubo (ou hexaedro), o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Nos tempos antigos estes sólidos foram muito estudados, tendo sido associados aos elementos clássicos: ar (octaedro), terra (cubo), água  (icosaedro) e fogo (tetraedro). Ao dodecaedro, por ter uma forma muito próxima à da esfera, foi associado a noção de Universo.

Tetraedro

Cubo ou hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Imagens da autoria de Peter Steinberg

Como calcular o apótema de um polígono regular

O apótema é o segmento de reta que une o centro geométrico de um polígono regular (polígono com os lados todos iguais) ao centro de um dos lados, sendo o apótema perpendicular a esse lado. O número de apótemas de um polígono regular é igual ao número de lados.

Apótema de um hexagono - imagem de Wrtlprnft

Como calcular o apótema de um polígono regular

Existem fórmulas específicas para calcular o apótema de cada polígono regular. Contudo, existe uma fórmula que pode ser aplicada a qualquer polígono regular. A fórmula para calcular o apótema de qualquer um dos polígonos regulares é a seguinte:

r - raio (distância do centro geométrico a qualquer vértice do polígono regular);

l - lado.

Isometrias - o que é uma rotação

Uma isometria é uma transformação geométrica em que uma figura se transforma noutra figura geometricamente igual (congruente). Dessa forma, duas figuras congruentes dizem-se isométricas. Existem três tipos de isometrias: a rotação, a reflexão e a translação. Em baixo podes saber mais sobre o que é uma rotação e quais as suas propriedades. 

O que é uma rotação

Na rotação de uma figura em relação a um ponto, denominado de centro de rotação, a figura original roda e é transformada noutra figura igual, na qual todos os seus pontos estão à mesma distância do ponto de rotação que os pontos originais. 

A rotação é feita de acordo com um determinado ângulo, podendo ocorrer no sentido positivo (contrário aos ponteiros do relógio) ou negativo (no sentido dos ponteiros do relógio). 

Assim, de acordo com o exemplo dado, a figura A' resulta de uma rotação de 80º da figura A, no sentido negativo.

Propriedades da rotação

- numa rotação, a figura transformada é geometricamente igual à original;

- os ângulos formados pelos segmentos de reta que unem o ponto original ao ponto de rotação, e o ponto transformado ao ponto de rotação, são iguais, dependendo o ângulo da rotação realizada.

- o ponto transformado está à mesma distância do ponto de rotação que o ponto original;

- um ponto da figura que pertença ao centro de rotação, ou seja, que seja o mesmo ponto que o ponto de rotação, é transformado em si próprio.

Como fazer uma rotação - passo a passo

Para fazeres uma rotação vais necessitar de régua, esquadro e compasso. 

• Passo 1 - Deves começar por unir cada ponto da figura ao ponto de rotação.
• Passo 2 - De seguida, a partir de cada semirreta que desenhaste, deves medir o ângulo dado, e traçar a outra semirreta do ângulo. 
• Passo 3 - Para marcares os pontos transformados, tens apenas de medir a distância entre o ponto de rotação e o ponto original, e marcar a mesma distância na semirreta, definindo assim o ponto transformado. Para marcares os pontos transformados, podes usar o compasso em vez da régua.
• Passo 4 - Por fim, basta unires os pontos transformados, e terás uma figura igual à original.

Vê o seguinte vídeo para perceberes melhor este passo a passo:

Isometrias - o que é uma reflexão

Uma isometria é uma transformação geométrica em que uma figura se transforma noutra exatamente igual (congruente - com tamanho, forma e ângulos iguais). Dessa forma, duas figuras que sejam geometricamente iguais denominam-se isométricas. Existem três tipos de isometrias: a rotação, a reflexão e a translação. Em baixo podes saber mais sobre o que é uma reflexão e quais as suas propriedades. 

O que é uma reflexão

Numa reflexão de uma figura em relação a uma reta (denominado de eixo de reflexão), uma imagem é transformada noutra figura igual, na qual todos os seus pontos estão à mesma distância do eixo de simetria que os pontos originais. O segmento formado pelo ponto original e o ponto transformado formam uma perpendicular relativamente ao eixo de simetria. Assim, de acordo com o exemplo dado, a figura A' resulta de uma reflexão da figura A, em relação à reta s.

Propriedades da reflexão

- numa reflexão, a figura transformada é geometricamente igual à original;

- o ponto transformado está à mesma distância do eixo de simetria que o ponto original;

- o segmento de reta que une o ponto original e o ponto transformado é perpendicular ao eixo de simetria;

- um ponto da figura que pertença ao eixo de simetria, é transformado em si próprio.

Como fazer uma reflexão - passo a passo

Para fazeres uma reflexão vais necessitar de régua, esquadro e compasso. 

• Passo 1 - Deves começar por fazer retas perpendiculares ao eixo de simetria, a partir de cada um dos pontos da figura original (aprende AQUI a fazer retas perpendiculares).

• Passo 2 - De seguida, deves abrir o compasso desde o ponto original até ao ponto onde a sua perpendicular corta com o eixo de simetria. Utilizando o compasso com a abertura do passo anterior, deves marcar o ponto transformado a partir do eixo. Deves marcar essa distância em cada uma das retas desenhadas, obtendo dessa forma todos os pontos transformados por reflexão de cada um dos pontos originais. 

• Passo 3 - Se não tiveres compasso, podes usar a régua e medir a distância entre o ponto original e o eixo, e depois, marcar a mesma distância entre o eixo e o ponto transformado.

• Passo 4 - Une os pontos transformados. 

Vê o seguinte vídeo para perceberes melhor este passo a passo:

Isometrias - O que é uma translação

Uma isometria é uma transformação geométrica na qual uma figura se transforma noutra congruente (com tamanho, forma e ângulos iguais). Assim, duas figuras que sejam geometricamente iguais denominam-se de isométricas. Existem três tipos de isometrias: a rotação, a reflexão e a translação. Em baixo podes saber mais sobre o que é uma translação e quais as suas propriedades. 

O que é uma translação

A translação é uma isometria que se caracteriza pelo deslocamento de uma figura de acordo com uma direção, sentido e comprimento, produzindo uma figura geometricamente igual. Assim, de acordo com o exemplo dado, a figura A' resulta de uma translação da figura A, segundo o vetor v.

   

Propriedades da translação

- numa translação, a figura transformada é geometricamente igual à original;

- todos os pontos da figura original são deslocadas da mesma forma;

- todos os segmentos de reta que formam a figura original são transformados sem segmentos de reta paralelos e com o mesmo comprimento.

Como fazer uma translação - passo a passo

Para fazeres uma translação vais necessitar de régua, esquadro e compasso. 

• Passo 1 - Deves começar por fazer retas paralelas ao vetor dado, a partir de cada um dos pontos da figura (aprende AQUI a fazer retas paralelas).

• Passo 2 - De seguida, deves abrir o compasso com um comprimento igual à do vetor.

• Passo 3 - Utilizando o compasso com a abertura igual à do vetor, deves marcar essa distância em cada uma das retas desenhadas, a partir de cada um dos pontos da figura original. Encontras assim os pontos transformados por translação de cada um dos pontos originais.

• Passo 4 - Une os pontos transformados. 

Vê o seguinte vídeo para perceberes melhor este passo a passo:

Critérios de Semelhança de Triângulos

Existe semelhança de triângulos quando dois triângulos têm a mesma forma. Semelhança de triângulos é diferente de igualdade de triângulos, onde estes têm de ter forma e tamanho igual. Para saberes mais sobre igualdade de triângulos, clica AQUI.

Para garantir que dois triângulos são semelhantes, há três critérios que podem ser usados. De seguida podes aprender as situações onde se garante que dois triângulos são semelhantes.

Critérios de semelhança de triângulos

• Critério AA (ângulo, ângulo)

Existe semelhança entre dois triângulos quando ambos têm dois ângulos correspondentes geometricamente iguais. Na realidade, se têm dois ângulos correspondentes, então o 3º também será igual.

• Critério LAL (lado, ângulo, lado)

Existe semelhança de triângulos quando ambos os triângulos têm dois lados correspondentes diretamente proporcionais, sendo que o ângulo formado por esses dois lados é igual.

• Critério LLL (lado, lado, lado)

Diz-se que dois triângulos são semelhantes quando os três lados correspondentes são diretamente proporcionais.

Regras de semelhança nos vários tipos de triângulos

Triângulos equiláteros – todos os triângulos equiláteros são semelhantes, já que os seus Ângulos internos são todos iguais (60º).

Triângulos isósceles – para verificar se são semelhantes é necessário aplicar os critérios de semelhança de triângulos.

Triângulos escalenos – para verificar se são semelhantes é necessário aplicar os critérios de semelhança de triângulos.

Critérios de igualdade de triângulos

Dois triângulos dizem-se iguais ou congruentes quando têm a mesma forma e o mesmo tamanho, ou seja, quando todos os lados e ângulos correspondentes são iguais. 

Critérios de igualdade de triângulos

Para verificar que dois triângulos são iguais ou congruentes, há três critérios que podem ser usados. De seguida podes aprender como verificar se dois triângulos são iguais utilizando os critérios de igualdade de triângulos, também chamados de casos de congruência de triângulos.

• Critério ALA (ângulo, lado, ângulo)

Existe igualdade entre dois triângulos quando ambos têm um lado correspondente com a mesma medida, e os dois ângulos adjacentes correspondentes geometricamente iguais. 

• Critério LAL (lado, ângulo, lado)

Existe igualdade de triângulos quando ambos os triângulos têm dois lados correspondentes iguais, sendo que o ângulo formado por esses dois lados é igual.

• Critério LLL (lado, lado, lado)

Diz-se que dois triângulos são iguais ou congruentes quando os três lados correspondentes são iguais.

Exercícios de matemática 5º e 6º ano - ângulos, retas e triângulos

Para poderes estudar matemática, deixamos-te aqui algumas fichas sobre ângulos, retas e triângulos para praticares. Mas antes de começares a fazer as fichas, deves antes estudar um pouco sobre os ângulos, retas e triângulos. Assim, se precisares de saber mais sobre estes temas, clica nos links abaixo:

- "Classificação de ângulos"

- "Construção de triângulos"

- "Triângulo equilátero, isósceles e escaleno"

- "Retas paralelas, concorrentes e coincidentes" 

- "Como fazer retas perpendiculares"

- "Como fazer retas paralelas"

Em baixo podes encontrar o link para três fichas de exercícios de matemática 5º e 6º ano sobre ângulos, retas e triângulos.

- Ficha de exercícios sobre retas

- Ficha de exercícios sobre triângulos

- Ficha de exercícios sobre ângulos e retas

- Ficha de exercícios sobre ângulos 

Ilusão de ótica com retas paralelas

O mundo da Matemática está cheio de curiosidades e detalhes interessantes. Por exemplo, as retas paralelas são, por definição, linhas direitas que nunca se encontram (para saberes mais sobre retas paralelas, concorrentes e coincidentes, clica Aqui). No entanto, há algumas ilusões de ótica que enganam o nosso cérebro, e retas pararelas deixam de parecer paralelas. Diverte-te com as seguintes ilusões de ótica com retas paralelas. 

1 - Ilusão de ótica com retas pararelas - parede do café

Nesta imagem, vista pelo Dr. Richard Gregory nas paredes de um café, apesar de não parecer, as linhas horizontais são paralelas.

2 - Ilusão de ótica com retas paralelas - linhas vermelhas

As linhas vermelhas em cada imagem parecem-te paralelas? Olha lá bem com atenção. O que achas? Mesmo não parecendo, em todas as imagens as linhas vermelhas são paralelas entre si. Se quiseres podes verificar com uma régua.

retirado do site hypescience.com

3 - Ilusão de ótica com retas paralelas - linhas verticais

Também neste caso as linhas verticais são paralelas. No entanto, através de uma utilização inteligente de duas cores em cada linha, estas retas paralelas parecem curvas. 

retirado do site mdig.com.br

4 - Ilusão de ótica com retas paralelas - qual é o maior?

Nesta imagem qual é o maior: o segmento de reta A ou B? Já pensaste? Agora experimenta medir com uma régua ambos os segmentos de reta? Pois é, a conclusão, apesar de à primeira vista não parecer, é que ambos têm a medida. 

Classificação de ângulos

O que são ângulos?

Em baixo podes aprender o que é um ângulo, e ainda, a classificação de ângulos, de acordo com a sua amplitude.

O que é um ângulo

Um ângulo é o nome dado às duas regiões limitadas por duas semirretas com a mesma origem.

Como os dois ângulos juntos forma um ângulo de 360º, considera-se sempre o ângulo mais pequeno, neste caso, o ângulo assinalado a cor de laranja.

Assim, na figura temos o ângulo ABC, que  tem como vértice o ponto B e lados as semirretas BA e BC. À abertura entre os dois lados chama-se de amplitude, medida através de um transferidor. A unidade de medida é o grau.

Classificação de ângulos

Consoante a amplitude do ângulo, este pode ser classificado de ângulo agudo, reto, obtuso, raso ou giro. 

O ângulo agudo é um ângulo com menos de 90º.

O ângulo reto tem 90º.

O ângulo obtuso tem mais de 90º.

O ângulo raso tem 180º.

O ângulo giro tem 360º.

Como calcular a área do trapézio

O trapézio é um polígono quadrilátero, em que tem dois lados opostos paralelos, e outros dois lados opostos não paralelos. Os lados paralelos constituem a base maior e a base menor. Existem três tipos de trapézios: trapézio retângulo, isósceles e escaleno. Em baixo podes conhecer mais sobre cada um destes tipos de trapézios, e ainda, como calcular a área do trapézio.

• Trapézio retângulo

O trapézio retângulo é um trapézio em que um dos lados é perpendicular às duas bases. 

• Trapézio isósceles

O trapézio isósceles é um trapézio em que os dois lados opostos não paralelos são iguais.

• Trapézio escaleno

O trapézio escaleno é um trapézio em que todos os lados têm medidas diferentes.

Como calcular a área do trapézio 

Para calcular a área do trapézio tem apenas de multiplicar a soma das duas bases pela altura do trapézio, e no final, dividir por dois. 

Como calcular a área de um triângulo

A área é a superfície que uma determinada figura ocupa. Antes de mostrarmos como calcular a área de um triângulo, vamos observar a seguinte situação:

Através desta atividade prática, chega-se à conclusão que se dividirmos um paralelogramo pela sua diagonal, obtemos dois triângulos iguais. Dessa forma, podemos afirmar que a área de cada um dos triângulos dados será igual a metade da área do paralelogramo. Se a área do paralelogramo é igual ao produto da sua base pela sua altura, então a área de um triângulo será igual a metade do produto da sua base pela sua altura.

Assim, para calcular a área de um triângulo basta aplicar a seguinte fórmula:

Como calcular a área do quadrado e do retângulo

A área é a superfície que uma determinada figura ocupa. Para calcular a área do quadrado e do retângulo é necessário as medidas do comprimento e da largura. Como o quadrado tem os lados todos iguais, no seu caso considera-se a medida do lado. Assim, para calcular a área do quadrado e do retângulo basta aplicar as seguintes fórmulas:

• Área do quadrado

A = lado x lado = l x l

• Área do retângulo

A = comprimento x largura = c x l