Como fazer contas de dividir à mão

Fazer contas de dividir pela máquina é fácil, e não tem qualquer ciência. Contudo, saber como fazer contas de dividir à mão é um pouco mais complicado, obrigando a utilizar um algoritmo: método para fazer uma divisão. 

Muitas crianças e jovens perguntam-se porque razão têm de fazer contas de dividir à mão, se é muito mais fácil pela máquina. A resposta é simples: o cérebro tem de ser estimulado para se desenvolver e não perder capacidades. Além disso, como é possível num nível de ensino mais avançado conseguir-se fazer "contas" e algoritmos bem mais complicados, se não se consegue fazer um algoritmo da divisão? 

Matemática é uma disciplina que requer treino. Muito treino. Mas se fizeres esse esforço, verás que tudo o resto começará a sair muito mais facilmente. Se queres aprender como fazer contas de dividir à mão, então neste blog podes encontrar um tutorial de como fazer contas de dividir à mão, passo a passo e com imagens. 

Clica aqui: "Como fazer contas de dividir à mão"

Como dividir frações

Aqui podes saber como dividir frações. Ao contrário da adição e subtração de frações, a divisão é um método simples, bem fácil de aprender. Mas para saberes como dividir frações, tens antes de saber fazer multiplicação de frações, e ainda, o que é o inverso de um número.

Inverso de um número

O inverso de um número é o número que multiplicado pelo primeiro dá resultado 1. 

Exemplo:

3 é o inverso de 1/3 e vice versa.

2/5 é o inverso de 5/2 e vice versa

De seguida vamos explicar-te como dividir frações.

• Como dividir duas frações:

Para dividir duas frações, substituímos o sinal de divisão pelo sinal de multiplicação, e o segundo número pelo seu inverso. Depois, basta multiplicar ambas as frações.

• Como dividir uma fração por um número inteiro.

Se queres saber como dividir frações por um número inteiro, então tens apenas de fazer o que foi feito em cima, e no final multiplicar os numeradores e os denominadores.

Como multiplicar frações

Aqui podes conhecer como multiplicar frações. Ao contrário da adição e subtração de frações, a multiplicação é um método muito simples, bem fácil de aprender. De seguida vamos explicar-te como multiplicar frações.

• Como multiplicar duas frações:

Para multiplicar duas frações, basta multiplicar os numeradores e os denominadores.

exemplos: 

• Como multiplicar um número inteiro por uma fração.

Se queres saber como multiplicar frações por um número inteiro, então tens apenas de multiplicar o numerador pelo número inteiro, mantendo o denominador igual.

exemplos:

Números gugol (googol) e gugolplex

Sabes o que é o número googol, ou como se escreve em Portugal, gugol? E o número gugolplex?

O gugol é o número 10¹⁰⁰, ou seja, 

10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

É um número enormíssimo, que foi denominado com o nome de googol (gugol em português) pelo matemático americano Edward Kasner. Este matemático, ao perguntar ao seu sobrinho de nove anos qual era o maior número existente, obteve como resposta guuuugggooollll. Uma brincadeira que Edward acabou por transformar num nome oficial para o número 10¹⁰⁰ . 

Só para teres uma ideia de quão grande é este número, imagina o seguinte. Considera uma pessoa que viva 80 anos. Vamos agora calcular o número de segundos que essa pessoa viveu: 

80 anos x 365 dias x 24 horas x 60 minutos x 60 segundos = 2522880000 segundos. 

Já um gugol de segundos equivale a 3,17 ⁹² anos. Tendo em conta que o Universo tem perto de 13,7 mil milhões de anos, um número incomparavelmente menor que 3,17 ⁹² anos, percebe-se o quão grande é um gugol.

Mais tarde, usou o gugol para definir um novo número, agora exponencialmente maior: o gugolplex. O gugolplex é nada mais que 10 elevado a um gugol. Algo do género: 10 ^{1 gugol} ou seja, 

10 ^{10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000} 

Difícil imaginar algo tão grande, não concordas?

Sabias que há um método alternativo para calcular potências de expoente 2?

Uma potência é uma forma de representar um produto de fatores iguais. Por exemplo, 5³ = 5 x 5 x 5 = 125. Mas Pitágoras, o mesmo que descobriu as propriedades de um triângulo retângulo e desenvolveu o famoso Teorema de Pitágoras, descobriu um método alternativo para calcular potências de expoente 2.

Pitágoras descobriu que o resultado de uma potência n elevado a 2 é igual à soma dos n primeiros números naturais ímpares. Por exemplo, 4 ao quadrado é igual a 4 x 4, mas também a 1+3+5+7. Em baixo podes ver mais exemplos deste método alternativo para calcular potências de expoente 2.

2² = 1 + 3 = 4

3² = 1 + 3 + 5 = 9

4² = 1 + 3 + 5 + 7 = 16

5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

6² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49

8² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64

9² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81

10² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100 

Números ascendentes

Na matemática há muitas curiosidades nos números. Uma dessas curiosidades matemáticas são os números ascendentes.

Um número ascendente é um número natural (número inteiro não negativo), onde o valor de cada algarismo é sempre maior do que o valor do algarismo que está imediatamente à sua esquerda.

Por exemplo:

2456

1289

2479

O que representa o número Pi?

O número Pi é um dos números mais famosos da Matemática, sendo utilizado em muitas fórmulas de cálculo, sempre relacionado com circunferências ou círculos. Mas o representa o número Pi?

Se medir o perímetro de um círculo, e dividir pelo seu diâmetro, o valor dessa razão será igual a aproximadamente 3,14. Isto acontece com a razão entre o perímetro da circunferência de um círculo e o seu diâmetro em todos todos os círculos. Por essa razão diz-se que o número Pi é uma constante, existindo proporcionalidade direta entre a razão entre o perímetro da circunferência de um círculo e o seu diâmetro.

P - perímetro da circunferência do círculo

d - diâmetro

O número Pi é um número irracional, com uma dízima infinita não periódica, e que representa a razão entre o perímetro da circunferência de um círculo e o seu diâmetro. De seguida apresentamos o número Pi até à sua tricentésima casa decimal.

Mas por uma questão prática, é usualmente utilizada o seu arredondamento às centésimas:

Sabes o que é o número mágico?

O número 1089 é conhecido como o número mágico. Sabes porquê?

Para perceber melhor a razão pela qual o número 1089 é o número mágico, vou pedir que escolhas um número qualquer, que seja composto por 3 algarismos diferentes. Por exemplo, 286. 

Considerando o número 286, começa-se por escrever 286 ao contrário. Depois, subtrai-se o menor número ao maior número:

682 - 286 = 396

Depois, escreves o resultado ao contrário, e somam-se os dois números:

396+693 = 1089 ---- número mágico

Fantástico, não é? 1089 é o número mágico, e isto funciona com todos os números compostos por 3 algarismos distintos. Mas atenção, se no primeiro passo, a diferença for por exemplo , quando inverter esse número tem de contar com o zero. Neste caso, 

453 - 354 = 099

099 + 990 = 1089

Máquina de calcular o mmc e o mdc

Hoje vamos ensinar como fazer uma máquina de calcular o mínimo múltiplo comum (mmc) e o máximo divisor comum (mdc), através de uma folha de cálculo (por exemplo, no Excel). Com esta máquina de calcular, terás uma forma prática e rápida de saberes o mmc e o mdc entre dois ou mais números, o que te pode ajudar quando estiveres a estudar matemática.

Como fazer uma máquina de calcular o mmc e o mdc passo a passo

Passo 1: Depois de abrires a folha de cálculo, escreve nas células A1 e A2 a palavra "Número". Se quiseres fazer uma máquina de calcular o mmc e mdc entre 3 números, deves colocar em três células, e por aí adiante.

Passo 2: Na célula A4 escreve a palavra MMC e na célula A5 a palavra MDC

Passo 3: Na célula B4 escreve a fórmula do mínimo múltiplo comum =MMC(A1:A2) Se estiveres a fazer uma maquina de calcular o mmc de mais números, dentro de parênteses terás de colocar as células correspondentes a esses números.

Passo 4: Na célula B5 escreve a fórmula do mínimo múltiplo comum =MDC(A1:A2) Se estiveres a fazer uma maquina de calcular o mdc de mais números, dentro de parênteses terás de colocar as células correspondentes a esses números.

Passo 5: Com a opção de preenchimento, dá alguma cor a cada célula, para a tua máquina de calcular mmc e mdc ficar mais bonita.

Passo 6: A tua máquina está pronta, e é altura de a experimentar. 

Como calcular escalas

A escala é a razão entre as dimensões no desenho (ou planta, ou mapa) e as correspondentes dimensões na realidade. Assim, podemos dizer o seguinte:

- Se a razão for maior que 1 representa uma ampliação.

- Se a razão for menor que 1 representa uma redução.

Para calcular escalas, é usada a proporcionalidade direta. Assim, tanto pode utilizar a propriedade fundamental das proporções, como a regra de três simples. Para saber como fazer estes dois métodos, clique aqui.

• Como calcular escalas - calcular a distância real

De seguida iremos mostrar como calcular a distância real a partir de um mapa.

Sabendo, que no mapa, duas cidades estão separadas por um segmento de reta de 6 cm e que a escala do mapa é de 1: 3000000, calcula a distância real.

DM = 6 cm

DR = ?

Escala = 1 : 3 000 000

R: A distância real é de 180 km

• Como calcular escalas - como calcular a escala de um mapa (ou desenho, ou planta)

De seguida iremos explicar como calcular a escala de uma mapa sabendo a distância real e a distância no mapa.

A distância real entre duas cidades é de 23 km. No mapa a distância, em linha reta, entre estas duas cidades, é de 5 cm. Qual é a escala? 

DM = 5 cm

DR= 23 km = 2 300 000 cm

Escala =  ?

             

Escala 1: 460 000 ou 1 /  460 000 (1cm no mapa corresponde a 460000cm de distância na realidade)

R: A escala do mapa é 1 : 460 000

Regra de três simples - como fazer

Neste texto iremos explicar como usar a regra de três simples e a propriedade fundamental das proporções. 

Considera a seguinte situação:

"O João quer fazer um bolo, e a receita diz que devem ser usados 5 ovos, 200g de açúcar, 150g de farinha e 1 litro de leite. Contudo, o João tem apenas 3 ovos. Como pode ele saber qual a quantidade que tem de usar nos restantes ingredientes, de forma a manter a receita?"

Para resolver este problema, o João pode usar dois métodos: a propriedade fundamental das proporções ou a regra de três simples. De seguida podes ver como funciona cada uma delas, dando como exemplo a quantidade de açúcar necessária.

Usando a propriedade fundamental das proporções, igualamos a razão entre o número de ovos e a quantidade de açúcar. Como numa proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, temos o seguinte:

Usando a regra de três simples, dizemos que 5 ovos está para 200 gramas, assim como 3 ovos estará para... Depois basta fazer como na proporção. 

Respondendo à questão, se o João tiver apenas 3 ovos, deve usar 120g de açúcar. 

É importante referir que tanto a propriedade fundamental das proporções, como a regra de três simples, apenas podem ser usadas em situações onde exista proporcionalidade.  

Sabes o que é um número capicua?

Um número capicua é um número que, lido da esquerda para a direita tem o mesmo valor que lido da direita para a esquerda.

Por exemplo: 121; 55; 18081; 9904099 

Se quiseres descobrir um número capicua a partir de um número, então tens apenas de inverter a ordem dos seus algarismos, e somar esse número ao número original. Deves repetir esse processo, até alcançares um número capicua. 

56 + 65 = 121

140 + 041 = 181

46 + 64 = 110  ----  110 + 011 = 121

Sabes o que são números amigos?

Números amigos. Que nome tão invulgar em Matemática, não concordas? Os números amigos são números naturais em que cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro. Os divisores próprios de um número são todos os divisores, à exceção do próprio número. O par de números amigos mais conhecido é o 220 e o 284. 

Ora vejamos:

- Divisores próprios de 284: 1, 2, 4, 71, 142

Vamos agora somar os divisores próprios de 284: 

1+2+4+71+142 =220

- Divisores próprios de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110

Vamos agora somar todos os divisores próprios de 220: 

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Interessante, não achas? Quem descobriu esta relação entre estes números foi Pitágoras, o mesmo que criou o conhecido Teorema de Pitágoras.

O que são divisores de um número

Os divisores de um número natural irão ser todos os números que conseguem dividir esse número numa divisão exata. Dessa forma, ao contrário dos múltiplos, neste caso estamos a falar de um conjunto finito de números. 

O conjunto de divisores de 10 representa-se da seguinte forma: 

D10 = {1,2,5,10}

Para determinar os divisores de um número, iremos recorrer às regras de divisibilidade, e quando necessário, ao uso do algoritmo da divisão. De seguida apresentamos um exemplo, para ver como pode determinar os divisores de um número.

D32

Antes de mais, é importante referir que há dois divisores que se sabem à partida: o 1 e o próprio número. Começamos por colocá-los em cada uma das pontas, já que os divisores andam sempre aos pares: 1 x 32 = 32

De seguida, passamos ao 2. 32 é um número par, logo o 2 é um divisor. E qual o número que multiplicado por 2 dá 32? 16, que é assim também um divisor. Mais uma vez, colocam-se cada um dos números nas pontas. 

Passamos ao 3. 3+2=5. 5 não é múltiplo de 3, logo 32 não é divisor de 3. E vamos usando os critérios de divisibilidade para saber quais os divisores. O divisor seguinte é 4. E o número que multiplicado por 4 dá 32 é 8, logo também é divisor. Utilizando os critérios, sabemos que os restantes números naturais entre 4 e 8 não são divisores de 32, logo já está formado o conjunto de divisores de 32.

O que são múltiplos de um número

Os múltiplos de um número natural são todos os números que resultam da multiplicação desse número pelos elementos do conjunto dos números naturais que inclui o zero. Assim, por exemplo, para se calcular o conjunto de múltiplos de 4, fazemos o seguinte:

4 x 0 = 0   --- 0 é múltiplo de 4

4 x 1 = 4   --- 4 é múltiplo de 4

4 x 2 = 8   --- 8 é múltiplo de 4

4 x 3 = 12   --- 12 é múltiplo de 4

4 x 4 = 16   --- 16 é múltiplo de 4

4 x 5 = 20    --- 20 é múltiplo de 4

...

Como é conjunto dos números naturais é infinito, também o conjunto de múltiplos de um número é infinito. Para se representar os múltiplos de um número, faz-se da seguinte forma:

M4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...}

Regras de divisibilidade (critérios de divisibilidade)

As regras de divisibilidade, também denominadas de critérios de divisibilidade, são regras que permitem saber se um determinado número consegue dividir de forma inteira outra. Assim, é possível saber se um certo número é divisor de outro, sem ter de realmente fazer os cálculos. De seguida vamos apresentar as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10. Existem outros critérios de divisibilidade, mas ficamos-nos pelos mais importantes.

Regras de divisibilidade

- Divisibilidade por 2

O dois divide todos os números pares, isto é, todos os números que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8.

exemplo: 68 é par, logo é divisível por 2

- Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3, se a soma dos seus algarismos for um múltiplo de 3.

exemplo: A soma dos algarismos do número 531 é 5+3+1=9. 

9 é múltiplo de 3, logo, 531 é divisível por 3

- Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 se a soma do seu algarismo das unidades com o dobro do algarismo das dezenas for múltiplo de 4.

exemplo: 

No número 7236, a soma do algarismo das unidades (6) com o dobro do algarismo das dezenas (3) é 6+2x3=12

12 é múltiplo de 4, logo 7236 é divisível por 4.

- Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.

exemplo: 345 termina em 5, logo é divisível por 5

- Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e por 3. Assim, basta utilizar as regras de divisibilidade por 2 e 3 para verificar.

exemplo: considere o número 972.

972 é par, logo é divisível por 2.

9+7+2=18, 18 é múltiplo de 3, logo 972 é divisível por 3.

Como 972 é divisível por 2 e por 3, logo é também divisível por 6.

- Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos for divisível por 8.

exemplo: No número 4240, o número formado pelos três últimos algarismos é 240. Como 240:8=30, logo 4240 é divisível por 8.

- Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9, se a soma dos seus algarismos for um múltiplo de 9.

exemplo: A soma dos algarismos do número 693 é 6+9+3=18. 

18 é múltiplo de 9, logo, 693 é divisível por 9

- Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 se o último algarismo for um zero.

exemplo: O número 83610 termina em zero, logo é divisível por 10.

Como calcular a raiz quadrada de um número

A raiz quadrada de um número "y" vai ser o número "x" que, multiplicado por si próprio, dará "y". Complicado? Para ser mais fácil, nada melhor que mostrar um exemplo.

As raízes quadradas de quadrados perfeitos (números resultantes do quadrado de um número, por exemplo, 16, resultante de 4²) são mais fáceis de resolver mentalmente. No entanto, raízes quadradas de números que não sejam quadrados perfeitos são difíceis. Por essa razão utiliza-se normalmente uma calculadora para calcular a raiz quadrada de um número.

O algoritmo para calcular uma raiz quadrada é o seguinte. Basta substituíres o x pelo número, e calcular.

Como calcular uma potência

Em matemática, uma potência é uma representação de um produto de fatores iguais. Uma potência é constituída por dois elementos: a base e o expoente. 

A base será o fator que se repete, e o expoente é apenas a informação de quantas vezes a base se vai repetir. Ou seja, no cálculo da potência, apenas vai usar a base. Um dos erros mais comuns é multiplicar a base pelo expoente. Isso é errado. Por exemplo:

Leitura de uma potência

4² - quatro ao quadrado

4³ - quatro ao cubo

4⁴ - quatro à quarta ou quatro elevado a 4

4⁵ - quatro à quinta ou quatro elevado a 5

…

Geralmente a partir do expoente 4, lê-se sempre “base” elevado a “expoente”

Como fazer adição e subtração de frações

Fazer a adição e subtração de frações não é tão simples como adicionar ou subtrair numerais decimais. De seguida mostraremos como adicionar e subtrair frações, passo a passo. Mas antes de o fazer, é importante conhecer os termos específicos de uma fração.

Adição e subtração de frações - passo a passo (acompanha o raciocínio com a imagem)

• 1º Passo

Para poder somar e subtrair frações, é necessário que o denominador esteja igual em todas as frações. Assim, é necessário descobrir um múltiplo comum aos vários denominadores. Deve sempre usar-se o múltiplo comum menor, ou seja, o mínimo múltiplo comum. Existem várias formas de descobrir esse número:

- através da decomposição dos denominadores em fatores primos e calcular o mmc (mínimo múltiplo comum);

- escrever os múltiplos de cada número, comparar e verificar qual o número menor (diferente de zero) comum a ambos;

- em último caso, podes multiplicar os denominadores, pois o seu produto é múltiplo de ambos.

• 2º Passo

Depois de descobrires um múltiplo em comum, tens de pensar qual o número que multiplicado pelo denominador dará esse múltiplo. Assim, e olhando para o nosso exemplo, qual o número que multiplicado por 6 dá 24. E qual o número que multiplicado por 8 dá 24. 6 x 3 = 24 e 8 x 3 = 24. 

• 3º Passo

Multiplicar o numerador e o denominador de cada fração pelo número descoberto no passo anterior.

• 4º Passo

Depois de teres os denominadores iguais, basta somar os numeradores, mantendo os denominadores. Os denominadores não se somam!

• 5º Passo

Deves colocar sempre o resultado sob a forma de uma fração irredutível, ou seja, simplificada. Para isso, tens de descobrir um número que divida tanto o numerador, como o denominador.

Como calcular o mmc (mínimo múltiplo comum)

O múltiplo de um número obtém-se através da multiplicação desse número por todos os números inteiros positivos. Por exemplo, os múltiplos de 4 obtêm-se multiplicando 4 por 1, por 1, por 2, por 3, por 4, por 5, por 6... Sendo assim, existe um número infinito de múltiplos de um número.

M4={0,4,8,12,16,20,24...}.

O mmc (mínimo múltiplo comum), como o nome indica, é o mais pequeno múltiplo, diferente de zero, comum a dois ou mais números. 

Por exemplo, se M3={0,3,6,9,12,15,18...} e M4={0,4,8,12,16,20,24...}, o múltiplo comum mais pequeno entre 3 e 4 será 12. No entanto, se em vez de fazer o mmc de 3 e 4, fizermos o mmc de dois números bem maiores, isso demorará demasiado tempo. Assim, em vez de fazer os múltiplos para cada número, existe um método mais rápido. 

De seguida explicamos como calcular o mmc de dois ou mais números.

• 1º Passo

fazer a decomposição por fatores primos de cada um dos números. Se não sabes fazer a decomposição em fatores primos, clica aqui.

• 2º Passo

Depois de teres decomposto cada número nos seus fatores primos, irás escolher os fatores comums maiores e todos os fatores não comuns. 

• 3º Passo

Calcula o produto dos fatores selecionados. O resultado é o mínimo múltiplo comum dos dois números dados.