Como calcular o mdc (máximo divisor comum)

O divisor de um número é todo o número natural que divide outro e que resulta noutro número inteiro. Por exemplo, os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. O conjunto dos divisores de um número é sempre um conjunto finito de números.

12 : 1 = 12

12 : 2 = 6

12 : 3 = 4

12 : 4 = 3

12 : 6 = 2

12 : 12 = 1

D12={1,2,3,4,6,12}

O mdc (máximo divisor comum), como o nome indica, é o maior divisor comum a dois ou mais números. Por exemplo, se D12={1,2,3,4,6,12} e D18={1,2,3,6,9,18}, o maior divisor comum entre 12 e 18 será 6. No entanto, se em vez de fazer o mdc de 12 e 18, fizermos o mdc de dois números bem maiores, isso demorará demasiado tempo. Assim, em vez de fazer os divisores para cada número, existe um método mais rápido. 

De seguida explicamos como calcular o mdc de dois ou mais números.

• 1º Passo

fazer a decomposição por fatores primos de cada um dos números. Se não sabes fazer a decomposição em fatores primos, clica aqui.

• 2º Passo

Depois de teres decomposto cada número nos seus fatores primos, irás escolher os menores fatores comums. Os não comums não interessam.  

• 3º Passo

Calcula o produto dos fatores selecionados. O resultado é o máximo divisor comum dos dois números dados.

Decomposição de um número em fatores primos

O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número composto (número divisível por mais que dois divisores), é um produto de números primos. Assim, de seguida iremos aprender a fazer a decomposição de um número em fatores primos. Esta decomposição irá permitir depois calcular o mmc (mínimo múltiplo comum) e o mdc (máximo divisor comum).

De seguira iremos apresentar dois exemplos e explicar como fazer a fatorização (decomposição em fatores primos). 

Pegando num dos exemplos apresentados:

- verificar se o número é divisível pelo primeiro número primo, o 2. Se for o caso, fazer a divisão (12 : 2 = 6). Se não, verificar se é divisível pelo número primo seguinte, e por aí adiante até o número dado ser divisível por um número primo. Para fazer este passo será importante conhecer os critérios de divisibilidade.

- repetir o mesmo procedimento até dar resultado 1.

- o número que se pretende decompor é o produto de todos os números primos colocados à direita da linha.

Números primos - o que são?

A definição mais simples é que um número primo é aquele que é apenas divisível por si e por 1. Ou seja, tem dois divisores. Por essa razão, não se considera o número 1 primo. Já todos os números que têm mais do que dois divisores dizem-se números compostos.

Por exemplo, o conjunto de divisores de 5 é {1,5}, logo 5 é um número primo. 

Existe um número infinito de números primos. De seguida, iremos numerar os números primos até 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Como fazer "contas" de dividir - passo a passo

A divisão é a operação onde os alunos têm maiores dificuldades. O seu algoritmo (método para realizar a operação) é mais complexa que os algoritmos da adição, subtração e da multiplicação, e por isso, necessita de mais estudo e prática para aprender corretamente. De seguida iremos explicar passo a passo, com imagens, como realizar uma divisão exata, isto é, com resto zero.

Mas antes de passarmos à explicação, é importante saber os elementos de uma divisão, pois vamos usar essas palavras durante o tutorial.

Como fazer "contas" de dividir

• 1º Passo

Marcar no dividendo o menor número possível maior ou igual ao divisor.

• 2º Passo

Em 25, quantas vezes cabe o 5? Pensar na tabuada do 5 um número que multiplicado por 5 dê 25 ou que seja o mais próximo possível de 25 (neste caso tem de ser inferior e nunca superior a 25). 5 x 5 = 25

• 3º Passo

Multiplica-se 5 pelo divisor (5), e subtrai-se mentalmente esse resultado a 25. 25 - 25 = 0 Coloca-se a diferença por baixo do 25 (encostado à direita).

• 4º Passo

Baixa-se o algarismo seguinte do dividendo.

----> Para aprenderes como fazer contas de dividir com um divisor com 2 ou mais algarismos, clica AQUI. 

• 5º Passo

Repetir os passos 2 e 3. Em 6 quantas vezes há 5? 1. Multiplica-se 5 por 1, e coloca-se a diferença por baixo.

• 6º Passo

Se após ter baixado todos os algarismos do dividendo, o resto não for igual a zero, então coloca-se uma vírgula a seguir ao dividendo, e acrescenta-se um zero. De seguida baixa-se esse zero. 

• 7º Passo

Repetir os passos 2 e 3. Em 10 quantas vezes há 5? 2. Multiplica-se 5 por 2 e coloca-se a diferença em baixo.

• 8º Passo

Depois de se alcançar resto zero, se existirem casas decimais no dividendo e/ou no divisor, é necessário colocar essas casas decimais no quociente. Para saber como colocar a vírgula no quociente, clica aqui.

----> Para aprenderes como fazer contas de dividir com um divisor com 2 ou mais algarismos, clica AQUI. 

Clica aqui para subscreveres "Estudar Matemática" e recebe todos os novos artigos no teu mail (tens de confirmar clicando no link que te enviarão para mail)

Como colocar a vírgula no quociente

Existem três hipóteses para colocar a vírgula no quociente: se apenas existirem casas decimais no dividendo, no divisor ou em ambos. De seguida explicamos como proceder em cada um dos casos.

1 - Assim, se apenas existirem casas decimais no dividendo, anda-se esse número de casas decimais, da direita para a esquerda, no quociente.

2 - Se apenas existirem casas decimais no divisor, então adicionam-se esse número de zeros no quociente.

3 - Se existirem casas decimais no dividendo e no divisor, faz-se o seguinte:

       a) se houver mais casas decimais no dividendo que no divisor, faz-se a diferença e coloca-se esse número de casas decimais no quociente.

         b) se houver mais casas decimais no divisor que no dividendo, faz-se a diferença e acrescenta-se esse número de zeros ao quociente.

         c) se houver igual número de casas decimais no dividendo e no divisor, então o quociente permanece igual.

Conjunto numéricos

Na Matemática, para mais facilmente se organizar o estudo dos números, foi necessário fazer grupos. Em cada grupo juntaram-se os números que tinham as mesmas características. Ao longo da história, os conjuntos numéricos foram evoluindo, até chegarmos à organização atual dos números. Na imagem apresentada em baixo podemos ver os conjunto numéricos atualmente existentes. Deixámos de fora propositadamente os números complexos e outros ainda mais complicados.

Números naturais - N

Os números naturais são aqueles que podem representar algo na Natureza. Assim, consideram-se números naturais todos os números inteiros maiores que zero. N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Existe ainda um grupo de números naturais, mas já abrangendo o zero.

Números inteiros - Z

Os números inteiros abrangem todos os números naturais, o zero, e ainda os opostos dos números naturais. Assim, Z = {... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}

Números racionais - Q

Os números racionais abrangem os números inteiros (exemplo: -6) e os decimais, finitos (exemplo: 2,493) e infinitos com dízima periódica (exemplo: 0,456456456...) Os números racionais podem ser representados por uma fração. Daí também serem chamados de números fracionários.

Números Irracionais - I

este conjunto é formado por números decimais infinitos, com uma dízima não periódica. Como exemplos, podemos ter o 0, 428465242..., ou então o Pi (3,1415926...).

Números reais - R

Os números reais é o conjunto de abrange todos os números dos conjunto numéricos atrás referidos.