Como transformar linguagem simbólica em linguagem natural e vice versa

Qualquer expressão numérica pode ser expressa de duas formas: em linguagem simbólica e em linguagem natural. 

A linguagem simbólica usa símbolos, e como tal, é entendida por toda as pessoas que conheçam esse símbolos e a forma como estão ligados, independentemente da sua língua natural. Por exemplo, 3+4x2. Qualquer pessoa que conheça estes símbolos sabe o que esta expressão numérica significa.

Já a linguagem natural é a forma como se expressa uma expressão numérica usando a sua língua. Por exemplo, 3+4x2, na língua portuguesa diz-se a soma de 3 com o produto de 4 por 2. Neste artigo vais aprender a transformar uma expressão numérica de linguagem simbólica para linguagem natural e vice-versa.

Terminologia correta

Para estudar matemática e saberes transformar uma expressão numérica na linguagem simbólica para a linguagem natural, e vice-versa, é importante conheceres a terminologia correta. Assim:

- soma (resultado de uma adição)

- diferença (resultado de uma subtração)

- produto (resultado de uma multiplicação)

- quociente (resultado de uma divisão) 

Como transformar linguagem simbólica em linguagem natural e vice-versa

- Com uma operação

Começamos sempre por ler o resultado dessa operação, referindo de seguida os dois números envolvidos pela ordem que aparecem. Por exemplo:

5 + 3  <-> a soma de cinco com três

45 - 2 <-> a diferença entre quarenta e cinco e dois

3 x 12 <-> o produto de três por doze

5 : 3 <-> o quociente de cinco por três

Esta é a forma mais simples. Mas quando as expressões numéricas têm mais que uma operação, fica um pouco mais complicado, mas nada que não aprendas facilmente. 

- Com duas ou mais operações

Para saberes como transformar uma expressão numérica com mais que uma operação de linguagem simbólica para natural e vice-versa, é essencial saberes as regras do cálculo das expressões numéricas. Podes estudá-las AQUI. 

Para escrever uma expressão numérica escrita de forma simbólica em linguagem natural temos de começar pela última operação a ser realizada. Por exemplo:

  

    <-> a soma do produto de três ao quadrado por um meio com três

<-> a diferença entre o produto de seis ao quadrado por dois e o quociente de um meio por três. 

Propriedades da multiplicação de números naturais

A multiplicação é uma das quatro operações básicas da Matemática. Esta operação possui algumas propriedades que, aplicadas corretamente, irão facilitar o cálculo. Mas antes de abordarmos as propriedades da multiplicação de números naturais, é importante rever alguns conceitos.

• número natural: número inteiro (sem parte decimal) não negativo, ou seja, números que possam traduzir-se em quantidades existentes na Natureza, incluindo ainda o zero. {0, 1, 2, 3. 4, ...}

• Elementos da multiplicação

De seguida poderás conhecer as propriedades da multiplicação, juntamente com alguns exemplos práticos. Confere.

 

Propriedades da multiplicação de números naturais

=> Propriedade comutativa da multiplicação

Numa multiplicação, se trocarmos a ordem dos fatores, o produto não se altera.

Exemplo: 2 x 7 = 14   e   7 x 2 = 14

Exemplo prático: 5 x 57 x 2 (para facilitar o cálculo, trocamos o 57 pelo 2)

Assim, ficará 

   5 x 2 x 57 =

= 10 x 57 =

= 570

O cálculo mental ficou facilitado pela aplicação da propriedade comutativa da multiplicação. 

 

=> Propriedade associativa da multiplicação

Numa multiplicação, se juntarmos ofatores de forma diferente, o produto não se altera.

Exemplo: 

(2 x 7) x 10= 14 x 10 = 140   

2 x (7 x 10) = 2 x 70 = 140

Exemplo prático: 57 x 2 x 5 (para facilitar o cálculo, vamos juntar primeiro o 2 e o 5)

Assim, temos que 

   57 x 2 x 5 = 

= 57 x (2 x 5) = 

= 57 x 10 =

= 570

O cálculo mental ficou facilitado pela aplicação da propriedade associativa da multiplicação. 

=> Existência do elemento neutro da multiplicação

Numa multiplicação, se multiplicarmos qualquer número por 1, o produto é igual a esse número.

Exemplo: 21 x 1 = 21

=> Existência do elemento absorvente da multiplicação

Numa multiplicação, se multiplicarmos qualquer número por 0, o produto é sempre igual a zero. Por maior que seja o número, o seu produto por 0 é sempre 0.

Exemplo: 21 x 0 = 0

Calcular o mdc com o Algoritmo de Euclides

O máximo divisor comum (mdc), é o maior número que consegue dividir dois ou mais dados números. Para calcular o máximo divisor comum há várias formas, nomeadamente por comparação do conjunto de divisores de cada um dos números ou por decomposição em fatores primos. Para saberes mais sobre este último método confere o artigo "Como calcular o mdc".

 

Contudo, há um outro método que pode ser bastante útil em certos casos, especialmente quando são números grandes: o algoritmo de Euclides. De seguida podes aprender, passo a passo, como usar este método.

 

 

Algoritmo de Euclides - passo a passo

Para calcular o máximo divisor comum entre dois números usando o algoritmo de Euclides começamos por fazer a divisão inteira entre esses dois números. No exemplo dado, entre 512 e 26.

Após fazer a divisão inteira, se o resto for diferente de zero, voltamos a fazer uma nova divisão inteira, desta vez dividindo o divisor pelo resto da primeira divisão.

Devem fazer-se divisões inteiras consecutivas seguindo esta regra até se atingir resto zero. Quando isso ocorrer, o último divisor será o máximo divisor comum. 

 

 

 

 

 

 

Propriedades da adição de números naturais

A adição é uma das quatro operações básicas da Matemática. Esta operação possui algumas propriedades que, aplicadas corretamente, irão facilitar o cálculo. Mas antes de abordarmos as propriedades da adição de números naturais, é importante rever alguns conceitos.

• número natural: número inteiro (sem parte decimal) não negativo, ou seja, números que possam traduzir-se em quantidades existentes na Natureza, incluindo ainda o zero. {0, 1, 2, 3. 4, ...}

• Elementos da adição
  

De seguida poderás conhecer as propriedades da adição, juntamente com alguns exemplos práticos. Confere.

Propriedades da adição de números naturais

=> Propriedade comutativa da adição

Numa adição, se trocarmos a ordem das parcelas, a soma não se altera.

Exemplo: 21 + 7 = 28   e   7 + 21 = 28

Exemplo prático: 34 + 57 + 6 (para facilitar o cálculo, trocamos o 57 pelo 6)

Assim, ficará 

   34 + 6 + 57 =

= 40 + 57 =

= 97

O cálculo mental ficou facilitado pela aplicação da propriedade comutativa da adição. 

=> Propriedade associativa da adição

Numa adição, se juntarmos as parcelas de forma diferente, a soma não se altera.

Exemplo: 

(21 + 7) + 11= 28 + 11 = 39   

7 + (21 + 11) = 7 + 32 = 39

Exemplo prático: 34 + 57 + 3 (para facilitar o cálculo, vamos juntar primeiro o 57 e o 3)

Assim, temos que 

   34 + 57 + 3 = 

= 34 + (57 + 3) = 

= 34 + 60 =

= 94

O cálculo mental ficou facilitado pela aplicação da propriedade associativa da adição. 

=> Existência do elemento neutro da adição

Numa adição, se adicionarmos o zero a outra parcela, a soma é igual a esta parcela.

Exemplo: 21 + 0 = 21

Divisão de potências com a mesma base e o mesmo expoente

Na matemática há muitas vezes propriedades que ajudam a simplificar os cálculos. Um desses exemplos é a divisão de potências. De seguida podes aprender como dividir potências com a mesma base ou com o mesmo expoente de uma forma simples.


=> AQUI podes também aprender a fazer a multiplicação de potências com a mesma base e o mesmo expoente

• Quociente de potências com a mesma base

Para dividir potências com a mesma base, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes.

Exemplo: 

• Quociente de potências com o mesmo expoente

Para dividir potências com o mesmo expoente, mantém-se o expoente e dividem-se as bases.

Exemplo:

Sabes calcular expressões numéricas com potências? Aprende mais AQUI.

Multiplicação de potências com a mesma base e com o mesmo expoente

Na matemática há muitas vezes propriedades que ajudam a simplificar os cálculos. Um desses exemplos é a multiplicação de potências. De seguida podes aprender como multiplicar potências com a mesma base ou com o mesmo expoente de uma forma simples.

• Produto de potências com a mesma base

Para multiplicar potências com a mesma base, mantém-se a base e somam-se os expoentes.

Exemplo: 

• Produto de potências com o mesmo expoente

Para multiplicar potências com o mesmo expoente, mantém-se o expoente e multiplicam-se as bases.

Exemplo:

Sabes calcular expressões numéricas com potências? Aprende mais AQUI.

Como calcular a média aritmética simples

Popularmente conhecida como média, esta medida tem como nome mais correto média aritmética simples. Mas o que é a média e como se calcula? Em baixo podes conhecer a definição de média aritmética simples, como a calcular, e ainda, alguns exemplos.

O que é a média aritmética simples

A média é basicamente uma medida que reflete a posição mais utilizada de todas. Uma forma muito simples de explicar é através do seguinte exemplo:

"Três amigos abriram uma garrafa de sumo e dividiram pelos três copos. No entanto, cada um ficou com uma quantidade diferente. A média é a medida que cada copo teria se tivessem dividido o sumo de forma igual por todos".

É uma medida matemática muito útil no dia a dia, estando muito presente no nosso quotidiano e sendo entendida e usada por praticamente todas as pessoas. Por exemplo, a média de golos do Cristiano Ronaldo numa época. De seguida podes aprender como calcular a média aritmética simples.

Como calcular a média aritmética simples

A média aritmética de um conjunto de valores numéricos calcula-se da seguinte forma:

• 1º passo: somar todos os valores do conjunto de números
• 2º passo: divide-se a soma anterior pelo número de elementos que foram somados, ou seja, pelo número de elementos que compõem o conjunto.

Em linguagem matemática, diz-se que a média é igual ao quociente entre a soma de n números por n.

Exemplos práticos:

1 - Num grupo de cinco alunos, as idades são as seguintes: 10, 10, 11, 10 e 12. Qual a média de idades deste grupo?

média = (10 + 10 + 11 + 10 + 12) / 5 = 53/5 = 10,6

2 - O jogador Rúben Almeida fez 35 jogos durante a temporada, nos quais marcou 21 golos. Qual a média de golos por jogo deste jogador?

média = 21 / 35 = 0,6 

Ficha de trabalho - Múltiplos, divisores, mmc e mdc (com correção)

Aqui podes encontrar uma ficha de trabalho sobre números e operações (múltiplos, divisores, mmc e mdc), com respetiva correção, para treinares os teus conhecimentos. 

Antes de fazeres a ficha, sugerimos a leitura dos seguintes artigos, que te vão ajudar a perceber melhor os conteúdos:

- O que são divisores de um número

- Como calcular o mdc (máximo divisor comum)

- Decomposição de um número de fatores primos

- O que são múltiplos de um número

- Como calcular o mmc (mínimo múltiplo comum)

Ficha de Trabalho - múltiplos, divisores, mmc e mdc

(para veres maior, basta clicar em cima da imagem)

Correção





1- 
M4 = {0, 4, 8, 12, 16, ...}
M7 = {0, 7, 14, 21, 28, ...}
D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

2 - V, F, V, F

3 - 
mmc (14, 16) = 112
mdc (32, 40) = 8

4 - 
a) 2, 3, 23, 29, 43
b) 3, 15, 21, 123, 1008
c) 1008
d) 1008

5- 
5.1 - mdc (28, 35) = 7 R:. Vai utilizar 7 embalagens

5.2 - 
28:7 = 4 colares
35:7 = 5 pulseiras

Como fazer "contas de dividir" com 2 algarismos no divisor

Entre as várias operações básicas, aquela onde os alunos têm maior dificuldade é a divisão. E quantos mais algarismos tiver o divisor, maior as dificuldades os alunos sentem. Já mostrámos AQUI como realizar uma divisão exata, com resto zero, passo a passo e com imagens. Neste artigo poderás aprender, também com imagens e passo a passo, como fazer “contas de dividir” com 2 ou mais algarismos no divisor. 

Mas antes de passarmos à nossa explicação, é essencial que conheças os elementos básicos da divisão. É importante saberes todos os nomes corretos para perceberes quando os usarmos no nosso tutorial de como fazer divisões com 2 ou mais algarismos na chave.

Como fazer "contas" de dividir com 2 algarismos

• 1º Passo

Marcar no dividendo o menor número possível maior ou igual ao divisor.

•  2º Passo

Em 121, quantas vezes cabe o 14? Para descobrires o número que multiplicado por 14 dê 121 ou o número que seja o mais próximo possível de 121 (neste caso tem de ser inferior e nunca superior a 121). Para descobrires esse número, faz os cálculos ao lado, com tentativas. Por exemplo, 14X7=98. Ainda está longe. 14X8=112. Já está mais perto. 14X9=126. Terá de ser o 8.

• 3º Passo

Multiplica-se 8 pelo divisor (14), e subtrai-se o resultado a 121. 121-112 = 9. Coloca-se a diferença por baixo do 121 encostado à direita).

• 4º Passo

Baixa-se o algarismo seguinte do dividendo.

• 5º Passo

Repetir os passos 2 e 3. Em 91 quantas vezes há 14? Volta-se a tentar várias opções ao lado. 14X4=56, 14X5=70, 14X6=84. Multiplica-se então 6 por 14, e coloca-se a diferença por baixo. 91-84=7

• 6º Passo

Se após teres baixado todos os algarismos do dividendo, o resto não for ainda igual a zero, deves então colocar então uma vírgula a seguir ao dividendo, e acrescentar um zero. De seguida deves baixar esse zero.

• 7º Passo

Repetir os passos 2 e 3. Em 70 quantas vezes há 14? Tentas ao lado, multiplicando 14 por vários números. O número será o 5. Multiplica-se 5 por 14 e coloca-se a diferença em baixo.

• 8º Passo

Depois de teres alcançado resto zero, se existirem casas decimais no dividendo e/ou no divisor, vais ter que colocar essas casas decimais no quociente. Para saber como colocar a vírgula no quociente, clica AQUI.

Clica aqui para subscreveres "Estudar Matemática" e recebe todos os novos artigos no teu mail (tens de confirmar clicando no link que te enviarão para mail)

O que é um algoritmo

Muitas vezes associado à programação computacional, na realidade a palavra algoritmo não é nada mais que um conjunto de passos definidos necessários para resolver uma tarefa. De seguida podes ficar a saber o que é um algoritmo, e conhecer os algoritmos mais básicos e conhecidos da Matemática. 

O que é um algoritmo?

De uma forma simples um algoritmo é uma "receita" que se deve seguir de modo a conseguir resolver uma tarefa. No dia a dia existem muitos algoritmos já enraizados na sua cabeça que lhe permitem realizar um grande conjunto de tarefas. Por exemplo, quando tem de abrir uma porta, na sua cabeça todos os passos estão já definidos:

1º passo - tirar a chave

2º passo - colocar a chave na fechadura

3º passo - rodar a chave

4º passo - rodar a maçaneta e puxar a porta

Na sua essência, este conjunto de passos é um algoritmo, já que terá de os seguir sempre para abrir uma porta fechada à chave com maçaneta.

Na Matemática, logo desde muito cedo os alunos aprendem alguns algoritmos básicos, como o da adição, o da subtração, o da multiplicação e da divisão. Aquilo que as crianças chamam de "contas em pé", não são nada mais que métodos, com um passo a passo definido, para descobrir o resultado de uma determinada operação.

Na Matemática existem inúmeros algoritmos, dos mais simples aos mais complexos, que permitem dessa forma descobrir um determinado resultado de uma forma relativamente fácil, já que basta seguir os passos definidos nesse método.

• Alguns exemplos de algoritmos utilizados nas aulas de Matemática:

- Algoritmo da divisão - passo a passo
- Algoritmo da multiplicação - passo a passo
- Como calcular expressões numéricas
- Como calcular o mdc
- Como calcular o mmc

Fichas de trabalho Matemática pré-escolar - Vamos treinar os numerais

Treinar os numerais é uma excelente maneira de a criança em idade pré-escolar, especialmente entre os 5 e os 6 anos, começar a ter a noção de quantidade e aprender a caligrafia dos algarismos. Dessa forma, treina-se o pensamento matemático e a própria motricidade fina. Aqui podes encontrar fichas de trabalho de Matemática pré-escolar, do 1 ao 9. Vamos treinar os numerais?

Fichas de trabalho - Matemática pré-escolar

De seguida podes aceder a um caderno de caligrafia para imprimir com 9 fichas, cada uma dedicada a um numeral. Descarrega cada ficha de caligrafia dos números para imprimir. Vamos treinar os numerais?

• Ficha de treino do numeral 1
• Ficha de treino do numeral 2
• Ficha de treino do numeral 3
• Ficha de treino do numeral 4
• Ficha de treino do numeral 5
• Ficha de treino do numeral 6
• Ficha de treino do numeral 7
• Ficha de treino do numeral 8
• Ficha de treino do numeral 9

Quando entrar no site onde estão alojadas as fichas, não tem que se registar. Basta clicar no "x" da janela que surgir inicialmente, e depois, clicar em "Download".

O que é uma inequação e como se resolve

Certamente já ouviste falar das equações. Estas são expressões matemáticas que expressam uma igualdade. Por exemplo, X = 2 + 3. Pelo contrário, uma inequação é uma expressão matemática que expressa uma desigualdade. Por exemplo, X > 3 - 4. Sabe mais sobre o que é uma inequação, como se resolve, e ainda, alguns exemplos práticos.

O que é uma inequação

Uma inequação é uma expressão matemática, com uma incógnita, e que representa uma desigualdade. Esta expressão matemática apenas é satisfeita com a substituição das incógnitas por determinados valores. Numa inequação, como por exemplo ax < b, “a” e “b” são números reais, sendo que “a”, o número que multiplica pela incógnita, terá sempre de ser ≠ 0. Aqui poderás aprender como descobrir a solução ou soluções da inequação.

Símbolos utilizados numa inequação

Numa inequação, em vez de se usar o sinal “=”, utilizam-se os seguintes símbolos:

> (maior que…)

< (menor que…)

≥ (maior ou igual que…)

≤ (menor ou igual que…)

Como resolver uma inequação

A forma como se resolve uma inequações é semelhante ao método de resolução de uma equação. De seguida mostraremos um exemplo, passo a passo, para perceberes como resolver uma inequação.

4x + 10 > –4 + 6    ------ no primeiro passo deverás isolar a incógnita, passando os restantes números para o outro termo, invertendo o seu sinal.

4x > –4 + 6 – 10    ------- de seguida, calculas o segundo termo.

4x > –8    -------   neste passo irás isolar o x, passando o 4 para o segundo termo. Como o 4 está a multiplicar pelo x, ele irá inverter a operação, dividindo o outro termo.

x > –8/4

x > –2

   

Na reta numérica, podemos dizer que o conjunto solução irá conter todos os números abaixo de -2, não incluindo o -2. Ou seja, {xЄR/x > –2} 

Vamos a mais um exemplo prático:

2x + 2 < -5 + 3x

2x - 3x < -5 - 2

-x < -7

x > 7     -------  quando no final da inequação, a incógnita é negativa, deves reverter para sinal positivo, alterando o símbolo para o seu inverso. Neste caso, o símbolo "<" passou para ">".

O conjunto solução para esta inequação é{xЄR/x > 7} 

O que é o módulo de um número

Já deves ter ouvido falar do módulo de um número. Este conceito surge nos números inteiros, onde aos números naturais se adicional os negativos. Para saberes mais sobre conjuntos de números, consulta o nosso texto "Conjuntos numéricos". Aqui poderás aprender o que é um módulo de um número, e ainda, alguns exemplos práticos.

O que é o módulo de um número

O módulo, também denominado de valor absoluto de um número, é a distância que esse número está do número zero na reta numérica. Por exemplo, a distância que o número 4 está do zero é 4. Ou então, a distância que o número -8 está do zero é 8.

Assim, podemos dizer que |4| = 4 e que |-8| = 8.

Podemos também dizer que se 4 > -8, já |4| < |-8|.

Apesar de a forma mais fácil de se descobrir o valor absoluto de um número ser retirar o sinal, a verdade é esse raciocínio é demasiado limitado, pois foge ao conceito do módulo. Vejamos um exemplo:

|x|> 8

Podemos dizer x é qualquer número que esteja a uma distância superior a 8 do zero. Ou seja:

 x>8 ou x<-8  ⇔ -8>x>8. 

Podemos dizer que nesta inequação, x representa todos os números menores que -8 e maiores que 8.

Expressões numéricas - fichas de trabalho 6º ano (com correção)

Calcular expressões numéricas é uma das competências mais importantes em Matemática, e como tal, é essencial que conheças bem todas as regras, saibas colocar em prática as estratégias corretas, e claro, que pratiques bastante. Em baixo podes encontrar algumas fichas de trabalho de 6º ano, com correção, sobre expressões numéricas. Podes ainda encontrar algumas dicas bem úteis.

Dicas para calcular expressões numéricas

De seguida podes conhecer uma estratégia para calcular o valor numérico de uma expressão

1º Observa a expressão no seu todo.

2º Identifica as operações envolvidas

3º Observa se a expressão tem parênteses.

4º Identifica potências

5º Começar a efectuar os cálculos tendo em conta:

- as potências;

- os parênteses;

- a prioridade da multiplicação e da divisão sobre a adição e a subtracção;

- a ordem das operações quando a prioridade não existe.

Para saberes mais como calcular expressões numéricas, clica AQUI.

Expressões numéricas - fichas de trabalho 6º ano (com correção)

- Ficha de trabalho nº 1 - Expressões numéricas 6º ano, com correção

- Ficha de trabalho nº 2 - Expressões numéricas 6º ano, com soluções

- Ficha de trabalho nº 3 - Expressões numéricas 6º ano

Sequências e regularidades

Observa as seguintes listas de objetos e de números. Verificas algum tipo de regularidade em cada um?

Na realidade, em apenas duas das listas existe uma regularidade, ou seja, algo que se repete ou a existência de algum tipo de regra. 

Quando uma lista de números ou de objetos tem alguma regularidade, dizemos que são sequências. dessa forma, uma sequência é uma lista de objetos ou de números que têm uma determinada regularidade. 

Os elementos de uma sequência denominam-se de termos da sequência, sendo que cada termo corresponde a uma dada ordem. Esta representa a posição que o termo tem na sequência. Usando o exemplo em cima, 40 é um termo da sequência e a sua ordem é 4, pois é o 4º termo da sequência. 

• Sequências e regularidades - Lei de formação

A lei de formação é uma regra que vai permitir conhecer cada um dos termos da sequência, sabendo-se o termo anterior ou a sua ordem. 

Por exemplo, a sequência 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13... é dada pela fórmula n+1, sendo n o número de ordem. 

Dessa forma, o 5º termo é dado por 5+1, ou seja, 6. Se verificares a sequência, o termo que está na 5ª posição é o 6. A fórmula n+1 denomina-se de expressão geradora da sequência numérica do exemplo. 

A expressão geradora de uma sequência numérica é assim uma fórmula que relaciona a ordem de um termo e o seu valor. 

• Sequências e regularidades - unidade de repetição

Uma unidade de repetição representa um bloco de um ou mais termos que se repetem na sequência. 

Exemplo 1:    1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,34,1,2,3,4,1,2,3,4...

Exemplo 2:  asdfgasdfgasdfgasdfg

O que é um quadrado perfeito

O mundo dos números está cheio de curiosidades interessantes. Já ouviste falar dos quadrados perfeitos? 

O que é um quadrado perfeito

Um quadrado perfeito é um número cuja raiz quadrada é um número inteiro. Por exemplo, 36 é um quadrado perfeito porque Ö16 = 4. Já o 32 não é um quadrado perfeito porque Ö32 = 5,656854…

Já agora, sabes o que é uma raiz quadrada? A raiz quadrada de um número A é um número B que multiplicado por si próprio (potência de base 2), resulta no número A. Ou seja, B x B = A. Ou seja, a raiz de 16 é 4, porque 4 x 4 é 16.

Como calcular os quadrados perfeitos

Para descobrires os números quadrados perfeitos tens apenas de fazer uma sequência de potências de base 2. Assim:

1 ao quadrado = 1  --- 1 é um quadrado perfeito

2 ao quadrado = 4 --- 4 é um quadrado perfeito

3 ao quadrado = 9 --- 9 é um quadrado perfeito

4 ao quadrado = 14 --- 16 é um quadrado perfeito

…

Sabias que se somares a sequência de ímpares, começando do zero, obténs um quadrado perfeito? Podes confirmar de seguida:

0 + 1 = 1   --- 1 é um quadrado perfeito

0 + 1 + 3 = 4   --- 4 é um quadrado perfeito

0 + 1 +3 + 5 = 9  --- 9 é um quadrado perfeito

0 + 1 +3 +5 + 7 = 16   --- 16 é um quadrado perfeito

…

Descobre mais curiosidades de Matemática AQUI.

Como simplificar frações

Uma fração é uma representação de uma determinada quantidade a partir de um dado valor, que é dividido em partes iguais. Por exemplo, se tiveres um bolo dividido em 8 fatias iguais, se apenas tiveres 3 fatias, logo, a representação da quantidade que tens é 3/8. Ou seja, tens três fatias de um bolo dividido em 8 fatias iguais. 

Aqui poderás aprender mais sobre o que são frações equivalentes e como simplificar frações para a sua forma irredutível.

Frações equivalentes

Se de seguida dividisses cada uma das 8 fatias em duas iguais, ficarias com o mesmo bolo dividido em 16 fatias iguais, das quais terias agora 6. Mas tens mais quantidade de bolo? Claro que não, simplesmente tens mais fatias, que no seu conjunto perfazem a mesma quantidade que tinhas inicialmente. Ou seja, 3/8 é igual a 6/16. Podemos dizer que estas duas frações são equivalentes, já que representam o mesmo valor.

Se multiplicares o numerador e o denominador pelo mesmo valor, a fração resultado é equivalente, representado exatamente o mesmo valor. Há por isso um número infinito de frações equivalentes à dada. Se o denominador e o numerador tiverem divisores comuns, à exceção do 1, podes também achar uma fração equivalente, mas utilizando a divisão. A isto chamamos de simplificar a fração. A simplificação de frações é assim a sua simplificação até chegar a sua forma irredutível.

Como simplificar frações

Uma fração irredutível é uma fração equivalente à dada, mas que é impossível simplificar mais. Quando o numerador e o denominador forem primos entre si (apenas têm o 1 como divisor em comum), diz-se que a fração está na sua forma irredutível. De seguida podes ver vários exemplos práticos explicados de como simplificar frações. 

• Exemplo A:

 

Utilizando os critérios de divisibilidade, rapidamente se percebe que 14 e 20 podem ser ambos divididos por 2. É importante lembrar que apenas podemos multiplicar ou dividir numerador e denominador por números iguais. Depois de dividir o 7 o 20, ficamos com 7 e 10, números primos entre si, logo, está calculada a fração irredutível.

• Exemplo B:

 

Tanto o 12 como o 42 são números pares, logo podem ser ambos divididos por 2. De seguida, é necessário verificar se 6 e 21 são primos entre si. Como ambos têm o 3 como divisor em comum, esta fração pode ser ainda mais simplificada. Por fim, o 2 e o 7 são primos entre si, logo, está calculada a fração irredutível. Neste caso, pode também simplificar logo a fração dividindo o numerador e o denominador por 6, já que este é divisor de ambos.

Para saberes como simplificar frações é importante conheceres os critérios de divisibilidade. Podes conhecê-los AQUI.

Como calcular expressões numéricas

As expressões numéricas são essenciais no conhecimento da matemática, e muito importantes na sua utilização no dia-a-dia. Para te ajudar a estudar matemática, aqui vais poder perceber o que são expressões numéricas, para que servem e como calcular expressões numéricas. 

Expressões numéricas

Uma expressão numérica é uma forma de expressar um raciocínio num problema, sendo outra forma de representar um determinado número. Qualquer expressão numérica representa um valor. Mas para perceberes melhor, verifica o seguinte exemplo:

O João foi ao supermercado com 10€ e comprou duas latas de cogumelos e um pacote de farinha. Sabendo que cada lata de cogumelos custava 1,20€ e o pacote de farinha 1€, indica:

a) quanto dinheiro gastou.

Para resolver este problema, deves usar a expressão numérica:  2 x 1,20 + 1 

2 x 1,20 + 1 expressa o valor que ele gastou, que é igual a 3,40€.

b) quanto dinheiro sobrou.

Para resolver este problema, deves usar a expressão numérica:  10 - (2 x 1,20 + 1) 

10 - (2 x 1,20 + 1) expressa o valor que sobrou, que é igual a 6,60€.

Como calcular expressões numéricas

Para saberes como calcular expressões numéricas, é fundamental perceber que numa sequência de operações, tem de existir regras para as executar. Assim, para calculares expressões numéricas, tens de conhecer as regras das expressões numéricas. Depois, apresentamos ainda um exemplo com as regras explicadas, para mais facilmente poderes entender.

• Regras das expressões numéricas

Numa expressão numérica, as operações não se fazem simplesmente pela ordem em que aparecem. Cada tipo de operação tem uma determinada prioridade, que indica quais as operações se fazem em primeiro lugar. De seguida podes verificar as regras de como calcular expressões numéricas.

1ª Prioridade - Em primeiro lugar, fazem-se todos os cálculos dentro de parênteses (esses cálculos devem seguir as regras abaixo descritas).

2ª Prioridade - Quanto às operações, em primeiro lugar devemos fazer as potências ou as raízes.

3ª Prioridade - Depois de já não existirem potências e raízes, calculam-se as multiplicações e divisões, pela ordem que aparecem.

4ª Prioridade - Por fim, quando já restarem apenas adições e subtrações, fazem-se pela ordem que aparecem. 

• Exemplos de expressões numéricas resolvidas

Comecemos por uma expressão numérica simples:

   23 - 4 x 5 =     --- 3ª P - Faz primeiro a multiplicação

= 23 - 20 =         --- 4ª P - Faz-se a subtração

= 3

Agora uma um pouco mais complicada:

Como calcular expressões numéricas - exercícios resolvidos


De seguida podes ver alguns exercícios resolvidos com expressões numéricas, para que mais facilmente possas perceber como utilizar e como calcular expressões numéricas.

a) 32 + 4 x 2 - 3 x 2 = 32 + 8 - 6 = 40 - 6 = 34

b) 5 x (3 + 10 : 2) = 5 x (3 + 5) = 5 x 8 = 40

c) 4 ao quadrado - 20 x (1/4 : 2) = 4 ao quadrado - 20 x (1/4 x 1/2) = 4 ao quadrado - 20 x 1/8 = 16 - 20 x 1/8 = 16 - 20/8 = 16 - 2,5 = 13,5

d) "A Maria recebeu um livros nos anos com 300 páginas. No primeiro dia leu metade, no segundo, 40, e no terceiro, o dobro das páginas do segundo dia.

       d.1) Escreve a expressão numérica que representa as páginas que leu nos três primeiros dias. 

300/2 + 40 + 2 x 40

        d.2) Quantas páginas leu nos primeiros três dias?

300/2 + 40 + 2 x 40 = 150 + 40 + 80 =270
R:. Leu 270 páginas.

        d.3) Escreve a expressão numérica que representa as páginas que ainda faltam ler.

300 - (300/2 + 40 + 2 x 40)

         d.4) Quantas páginas ainda faltam ler?

300 - (300/2 + 40 + 2 x 40) = 300 - (150 + 40 + 80) = 300 - 270 = 30

R:. Faltam ler 30 páginas.