A Relação de Euler é uma correspondência entre faces, arestas e vértices de um poliedro, descoberta pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707 a 1783). Este matemático descobriu que os elementos de um qualquer poliedro convexo tinham uma relação entre si. Aqui podes aprender o que é a Relação de Euler e conhecer alguns exemplos práticos para perceberes mais facilmente.
Relação de Euler - definição e exemplos práticos
Como referimos em cima, a Relação de Euler é uma relação entre os três elementos de um poliedro convexo (arestas, faces e vértices). Mas antes de chegarmos à fórmula, deves relembrar alguns conceitos essenciais:
- poliedro: sólido formado apenas por faces planas.
- poliedro convexo: sólido formado por faces planas e que não formam nenhuma concavidade.
- aresta: reta formada pelo encontro de duas faces do poliedro.
- face: a face é uma das superfícies do poliedro, delimitado por arestas.
- vértice: ponto formado pelo cruzamento de duas arestas.
Por exemplo, o cubo é um poliedro convexo, com 12 arestas, 8 vértices e 6 faces.
Agora, para perceber a relação que existe entre os vários elementos de um poliedro convexo, vamos usar os exemplos da pirâmide triangular regular, o tetraedro, e do cubo.
O tetraedro tem 6 arestas, 4 vértices e 4 faces.
Já o cubo tem 12 arestas, 8 vértices e 6 faces.
Se procurasses com atenção, verias que existe uma relação entre o número de vértices e de faces, e o número de arestas. Ora vê:
Tetraedro => 4 V e 4 F <= => 8 A
Cubo => 8 V e 6 F <= => 12 A
Se somarmos em ambos os casos o número de vértices e o número de faces verás que em ambos os casos a soma é igual ao número de arestas mais dois.
Tetraedro => 4 V + 4 F = 8 A + 2
Cubo => 8 V + 6 F = 12 A + 2
Se experimentares esta relação em outros poliedros convexos verás que ela irá manter-se sempre. Assim, podemos chegar a uma fórmula geral:
V + F = A + 2
Esta é a fórmula que representa a Relação de Euler.
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